Moyennes mobiles et
tendance linéaire
On suppose que la série xt suit le modèle de tendance linéaire ci-dessous :
xt = b t + a + et
où et est la v.a. qui caractérise la variation accidentelle, c’est-à-dire la différence entre l’observation xt et le point correspondant de la droite théorique bt + a. Les hypothèses qui sont faites souvent implicitement dans le modèle linéaire sont :
· l’indépendance des et : la variation accidentelle à l’instant t est indépendante des variations accidentelles aux instants t-1, t-2 etc..,
· la normalité de chaque et : la loi de la v.a. et est toujours la loi normale centrée de variance constante et égale à s2 (c’est ce que l’on appelle « homoscédasticité »).
Calculons les moyennes mobiles de longueur l = 2 k + 1 :
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mmt |
= |
( xt-k + xt-k+1 + … + xt-1 + xt + xt+1 + … + xt+k) / l = St / l |
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St |
= |
a (t - k ) + b + et-k |
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+ |
a (t - k +1 ) + b + et-k+1 |
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+ |
… |
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+ |
a t + b + et |
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+ |
… |
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+ |
a (t - k +1 ) + b + et-k+1 |
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+ |
a (t - k ) + b + et-k |
On trouve :
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St |
= |
a [ (t - k) + (t - k + 1) + … (t - 1) + t + (t+1) + … + (t + k -1) + (t + k) ] |
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+ |
(2 k + 1 ) b + et-k + et-k+1 + … + et-1 + et + et+1 + … + et+k |
Soit :
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St |
= |
a (2 k + 1) t + (2 k + 1
) b
+ et-k + et-k+1 + … + et-1 + et + et+1
+ … + et+k |
On en déduit :
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mmt |
= |
a t + b +
(et-k + et-k+1 + … + et-1 + et + et+1
+ … + et+k) / l |
Les moyennes mobiles suivent donc un modèle linéaire de même tendance dont la variation accidentelle et’est la moyenne mobile des v.a. et. Compte tenu de l’hypothèse d’indépendance de ces variables aléatoires, la variance de leur moyenne est égale à la moyenne de leurs variances :
var ( et’) = s2 / l
Les moyennes mobiles sont donc plus proches de la droite de tendance b t + a que les observations xt. On montre une propriété analogue pour les m.m. de longueur paire.